等比数列{an}各项是正数，Sn=80,S2n=6560,前n项中最大一项是54，求n（S后面的是下标，详解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 17:51:33

如题。
由等比数列前n项和公式知道，Sn=A1(1-q^n)/1-q,S2n=A1(1-q^2n)/1-q.
从而S2n/Sn=82,化简得到1+q^n=82,所以q^n=81
An=54,所以A1q^n-1=54,再由前n项和公式得
-80A1/1-q=80 得到 A1=2
A1/q*81=54 q=3 所以n=4

【n=4】

解：
由题意可得：a1>0, q>1,
a1*q^(n-1)=54

(a1-a1*q^n)/(1-q)=80
(a1-a1*q^2n)/(1-q)=6560
二者相除:80/6560=1/[1+q^n] ==>q^n=81
把q^n带入
解得：
a1=2；q=3；n=4

2.

Sn=a1(1-q^n)/(1-q),S2n=a1(1-q^2n)/(1-q)
S2n/Sn=1+q^n=82
q^n=81,由于n是正整数
故q>1,所以a1=q-1
若末项最大，则an=a1q^(n-1)=q^n*a1/q=81(1-q)/q=54
q=3,a1=2
an=2*3^(n-1)